算数・数学「公式道場」

9の倍数になる説明問題

式による説明問題シリーズの最終回です。
「3の倍数を文字で表す」「2けたの自然数を表す」を参照してください。赤字が説明文の内容で、青字がその解説です。

問題 : 「各位の和が9の倍数である3けたの整数は、9の倍数である」ことを説明せよ。

@文字で表して、各位の和が3の倍数であることを式で表す
(説明)
百の位を x , 十の位を y , 一の位を z とおくと、3けたの整数は 100x + 10 y + z と表される。各位の和が9の倍数であるので、 x + y + z = 9n となる。( n は整数)

この式を変形して x = 9n − y − z

A最初の式に代入して、まとめる
これを最初の式に代入すると
   100x + 10 y + z   
= 100 ( 9n − y − z ) + 10y + z

= 900n − 100y − 100z + 10y + z
   かっこをはずして計算
= 900n − 90y − 99 z
= 9 ( 100n − 10y − 11 z )          9の倍数を説明したいので、9でくくる

B結論を書く
100n − 10y − 11 z は整数なので、  ( )の中身が整数であることを説明する       
9 ( 100n − 10y − 11 z ) は9の倍数である。  「 9 ×(整数) 」は9の倍数のこと
したがって、各位の和が9の倍数である3けたの整数は、9の倍数である。

次は解説なしで、完成版を下に書きます。

(説明)
百の位を x , 十の位を y , 一の位を z とおくと3けたの整数は 100x + 10 y + z と表される。各位の和が9の倍数であるので、 x + y + z = 9n となる。( n は整数)
これを最初の式に代入すると
100x + 10 y + z 
= 100 ( 9n − y − z ) + 10y + z
= 900n − 100y − 100z + 10y + z
= 900n − 90y − 99 z
= 9 ( 100n − 10y − 11 z )
100n − 10y − 11 z は整数なので、9 ( 100n − 10y − 11 z ) は9の倍数である。

したがって、各位の和が9の倍数である3けたの整数は、9の倍数である。

各位の和が9の倍数であることを式で表してから、もとの数に代入して式をまとめる。

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