算数・数学「公式道場」

中点連結定理

中学2年で習う「中点連結定理」。この証明方法を紹介します。

(公式の紹介)
図形

(考え方)
@線分MNをNから同じ長さだけ伸ばし、その先端をDとおく。そして各点を結ぶ。MNを延長

A四角形AMCDにおいて
MN = DN (仮定)・・・・・(@)
AN = CN (Nは線分ACの中点である)・・・・・(A)
(@)(A)より、対角線がそれぞれの中点で交わるので四角形AMCDは平行四辺形
よってMA = CD となる。ここでMA = BM より、 CD = BM 。
CD // MA より CD // BM
AMCD

B四角形MBCDにおいて
CD = BM ・・・・・(B)
CD // BM ・・・・・(C)
(B)(C)より、一組の対辺の長さが等しく・平行であるので四角形MBCDは平行四辺形
MBCD

平行四辺形の対辺の長さは等しいので、MD = BC となる。 MD = 2MN であるから、これを代入して 2MN = BC となる。MN // BC であるから

MNはBCの半分

中点連結定理

線分MNを延長し、平行四辺形の性質を使って公式を求める

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