算数・数学「公式道場」

三平方の定理

中学3年で習う、入試に頻出の「三平方の定理」この公式の証明方法を紹介します。

(考え方)
@ まず直角三角形ABCを書き、頂点Aから辺BCに垂線を下ろし、交点をHとします。
BC = a , AC = b , AB = c とおき、∠ABC = y°として、それぞれの角度を書き込んでいく。

直角三角形ABC

A 3つの三角形、△ABC 、△HBA 、 △HAC が相似になることを証明する。見やすくするために図の向きを統一する

向きを統一した三角形

△ABCと△HBAにおいて
∠ABC = ∠HBA = y°・・・・・・(@)
∠BAC = ∠BHA = 90°・・・・・(A)
以上(@),(A)より2つの角度がそれぞれ等しいので△ABC ∽ △HBA
同様にして、△ABC ∽ △HAC

B相似の性質を使って、BH、CHの長さを表す。

△ABC ∽ △HAC より AC : HC = BC : AC
                 b  : HC = a  : b
                 HC × a  = b2
線分HC

△ABC ∽ △HBA より AB : HB = BC : BA
                 c  : HB = a  : c
                 HB × a  = c2
線分HB

C △ABCにおいて BC = BH + CH に着目する

三平方の定理

三平方の定理

直角三角形において a2 = b2 + c2
三角形の相似を使って求める

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