算数・数学「公式道場」

正八角形の体積

私立入試や模擬試験に出題される「正八角形の体積」。この求め方を解説します。説明途中には「三平方の定理」を使い、やや発展的な内容になっています。学校では中学3年の2学期以降に習いますので、この分野を習得してから参考にして下さい。

正八面体

問題 : 上に示した、1辺の長さがaの正八角形の体積を、aを用いて表せ

(考え方)
@正八面体は、正三角形を8個合わせた立体。まずは面BCDEで半分に切断します。

正四角錐

すると正四角錐になります。正八面体の体積は、正四角錐の体積の2倍ですね。
正四角錐の体積は、底面積 × 高さ ÷ 3 で求まります。
底面は1辺がaの正方形BCDEなので、底面積は a × a = a2 となります。

A「正四角錐の高さ」を求めるために、頂点Aから底面の正方形BCDEに垂線を下ろし、交点をHとします。そして辺BCの中点をMとして、A,M,Hを頂点とした直角三角形AMHのそれぞれの辺の長さを考えます。

垂線を下ろした正四角錐

B線分AMの長さを求めるため、正三角形ABCを抽出します。

正三角形ABC

△ABMは60°、30°、90°の直角三角形なので辺の比は AB : AM = 2 : √3
線分AM

C線分MHの長さを求めるため、正方形BCDEを抽出します。

正方形BCDE

MHは正方形の一辺の長さの半分になっている。
線分MH

D正四角錐の高さAHを求めるため、直角三角形AMHを抽出します。

直角三角形AMH

三平方の定理よりAH2 = AM2 - MH2
線分AH

正八面体の体積

正八面体の体積の求め方

正四角錐の体積×2で求まる。三角形の図を抽出しながら、三平方の定理を利用して求めていく。

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